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Revision #7

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数学期望

举一个例子，机砖厂中的机器数据的例子

其中 $N=\Sigma_{i=1}^{M}m_i, p^*_i = m_i /N $

于是便可以得到机床的统计平均数据

$$\overline{X} = \Sigma_{i=1}^{M} p^*_ix_i $$

但是我们知道频率是随机波动的，为了消除这种波动性，自然要用概率来替代频率。则得 $\Sigma_{i=1}^{M} p_ix_i $ 为随机变量的平均数，这种以概率为权的加权平均数就是所谓的数学期望

1. 离散型随机变量的数学期望

定义：4.1.1 设$X$是离散型随机变量，其概率分布为$$P(X=x_i) = p_i, i=1,2,3,...$$

若$\Sigma_{i=1}^{+\infty} p_ix_i$ 绝对收敛，则定义X的数学期望（均值）为$$E(X) = \Sigma_{i=1}^{\infty} p_ix_i$$

若$\Sigma_{i=1}^{+\infty} p_i|x_i|$不存在，则称$X$的数学期望不存在

例4.1.1 甲乙两人进行射击，X，Y分别代表他们以射中的环数，已知X,Y的概率分布为

计算其数学期望

解 $E(X) = \Sigma_{1}^{4}x_ip_i = 0.1\times7 + 8\times0.3 + 9\times0.3 + 10\times0.3 = 8.8$

$E(Y) = \Sigma_{1}^{4}y_ip_i = 0.2\times7 + 8\times0.3 + 9\times0.5 + 10\times0.1 = 8.5$

2.连续型随机变量的数学期望

定义 4.1.2 4.1.1 设$X$是连续型随机变量，其密度函数$f(x)$,若

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$$绝对收敛，则定义X的数学期望为$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$

例 4.1.4 已知随机变量X的分布函数为

求 $E(X)$。

解：F(x)的密度函数为

所以$E(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx = \int_{0}^{4}\frac{1}{4}xdx = \frac{1}{4}\frac{x^2}{2}\bi

例 4.1.6 设随机变量X的密度函数为

且$E(x) = \frac{7}{12}$, 求a与b的值，并求分布函数。

解: 因为是连续型随机变量，

所以$E(X) = \int_{0}^{1}x(ax+b)dx = (\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2)\big|^1_0 = \frac{a}{3} + \frac{b

$\int_{-\infty}^{+\infty}(ax+b)dx = \int_{0}^{1}(ax+b)dx = (\frac{1}{2}ax^2+bx)\big|^{1}_{0} = \fra

解得 a=1, b=1/2,

所以当$0 \leq x \leq 1 $ 时，

$F(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt = \int_{0}^{x}(x+\frac{1}{2})dt = (\frac{x^2 + x}{2})\big|^x_0 = \frac{x

所以他的分布函数为

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概率论
第四章随机变量的数字特征
第七章参数估计
- 7.1.1 点估计
- 7.1.2 点估计例题
第六章抽样及样本分布
- 6.2 抽样分布
第八章假设检验
- 单个正态分布的假设检验

Books

概率论

第四章随机变量的数字特征

4.1 随机变量的数学期望

4.1 随机变量的数学期望

第四章随机变量的数字特征

4.1.2 随机变量函数的数学期望

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