4.1 随机变量的数学期望

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 数学期望 
 举一个例子，机砖厂中的机器数据的例子 
 
 
 
 $x=x_i$ 
 0 
 1 
 2 
 3 
 ... 
 M 
 总和 
 
 
 
 
 出现次数 
 $m_0$ 
 $m_1$ 
 $m_2$ 
 $m_3$ 
 ... 
 $m_M$ 
 N 
 
 
 出现频率 
 $p^*_0$ 
 $p^*_1$ 
 $p^*_2$ 
 $p^*_3$ 
 ... 
 $p^*_4$ 
 1 
 
 
 
 其中 $N=\Sigma_{i=1}^{M}m_i, p^*_i = m_i /N $ 
 于是便可以得到机床的统计平均数据 
 $$\overline{X} = \Sigma_{i=1}^{M} p^*_ix_i $$ 
 但是我们知道频率是随机波动的，为了消除这种波动性，自然要用概率来替代频率。则得 $\Sigma_{i=1}^{M} p_ix_i $ 为随机变量的平均数，这种以概率为权的加权平均数就是所谓的 数学期望 
 1. 离散型随机变量的数学期望 
 定义：4.1.1 设$X$是离散型随机变量， 其概率分布为$$P(X=x_i) = p_i, i=1,2,3,...$$ 
 若$\Sigma_{i=1}^{+\infty} p_ix_i$ 绝对收敛，则定义X的数学期望（均值）为$$E(X) = \Sigma_{i=1}^{\infty} p_ix_i$$ 
 若$\Sigma_{i=1}^{+\infty} p_i|x_i|$不存在，则称$X$的数学期望不存在 
 例4.1.1 甲乙两人进行射击，X，Y分别代表他们以射中的环数，已知X,Y的概率分布为 
 
 
 
 $X=x_i$ 
 7 
 8 
 9 
 10 
 
 
 
 
 P 
 0.1 
 0.3 
 0.3 
 0.3 
 
 
 
 
 
 
 $Y=y_i$ 
 7 
 8 
 9 
 10 
 
 
 
 
 P 
 02 
 0.3 
 0.5 
 0.1 
 
 
 
 计算其数学期望 
 解 $E(X) = \Sigma_{1}^{4}x_ip_i = 0.1\times7 + 8\times0.3 + 9\times0.3 + 10\times0.3 = 8.8$ 
 $E(Y) = \Sigma_{1}^{4}y_ip_i = 0.2\times7 + 8\times0.3 + 9\times0.5 + 10\times0.1 = 8.5$ 
 
 2.连续型随机变量的数学期望 
 定义 4.1.2 4.1.1 设$X$是连续型随机变量， 其密度函数$f(x)$,若 
 $$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$$绝对收敛，则定义X的数学期望为$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ 
 例 4.1.4 已知随机变量X的分布函数为 
 $$
F(x) = \begin{cases}
0, \text{ } x \leq 0 \\
\frac{x}{4}, \text { } 0 \lt x \leq 4 \\
1, x \gt 4
\end{cases}
$$ 
 求 $E(X)$。 
 解：F(x)的密度函数为 
 $$
f(x) = \begin{cases}
0, x \leq 0， x \gt 4, \\
\frac{1}{4}, 0 \lt x \leq 4
\end{cases}
$$ 
 所以$E(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx = \int_{0}^{4}\frac{1}{4}xdx = \frac{1}{4}\frac{x^2}{2}\big|^4_0 = 2$ 
 例 4.1.6 设随机变量X的密度函数为 
 $$
f(x) = \begin{cases}
ax+b, 0\leq x \leq 1, \\
0, 其他
\end{cases}
$$ 
 且$E(x) = \frac{7}{12}$, 求a与b的值，并求分布函数。 
 解: 因为是连续型随机变量， 
 所以$E(X) = \int_{0}^{1}x(ax+b)dx = (\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2)\big|^1_0 = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{7}{12}$ 
 $\int_{-\infty}^{+\infty}(ax+b)dx = \int_{0}^{1}(ax+b)dx = (\frac{1}{2}ax^2+bx)\big|^{1}_{0} = \frac{a}{2} + b = 1$ 
 解得 a=1, b=1/2, 
 所以当$0 \leq x \leq 1 $ 时， 
 $F(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt = \int_{0}^{x}(x+\frac{1}{2})dt = (\frac{x^2 + x}{2})\big|^x_0 = \frac{x^2 + x}{2} $ 
 所以他的分布函数为 
 $$
F(x) = \begin{cases}
0, x \leq 0， \\
\big(\frac{x^2 + x}{2}), 0 \leq x \leq 1 \\
1, x \gt 1
\end{cases}
$$