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Revision #2

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定义 6.2.1 设$(X_1, X_2,...,X_n)$时来自总体$X$的一个样本，$g(X_1,X_2,...,X_n)$是样本的函数，若$g$中不含任何参数，则称$g(X_1,X_2,...,

6.2.2 正态总体的抽样分布

设$(X_1, X_2,...,X_n)$是来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的一个样本，由于$(X_1, X_2,...,X_n)$相互独立且与总体分布相同，

所以$X_i \sim N(\mu, \sigma^2), (i=1,2,...n)$，故 $$E(\overline{X}) = \Sigma_{i}^{n} \frac{1}{n}E(X_i) =

$$D(\overline{X}) = \Sigma_{i}^{n}\frac{1}{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \Sigma_{i}^{n}D(X_i) = \frac{\s

由于线性分布的线性运算结果仍服从正态分布，由此得出 $$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}), Z= \frac{\overline{X} - \m

可以证明样本方差$E(S^2) = \sigma^2$

6.2.3 几种常见的抽样分布

1. $\chi^2$ 分布

定义 6.2.2 设$(X_1, X_2,...,X_n)$是来自总体$X \sim N(0，1)$的一个样本，则统计量$$\chi^2 = \Sigma_{i}^{n}X^2_i$$服从自由度为$

$\chi^2$ 分布的性质

(1). $\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1), \chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)$, 且$\chi_1^2 , \chi_1^2$相互独立，则 $\chi_1^2

(2). $E(\chi^2) = n, D(\chi^2) = 2n$ 证明暂时省略

一般的，若$(X_1, X_2,...,X_n)$为来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的一个样本则统计量$$\chi^2 = \Sigma_{i=1}^{n}\big(\fra

定理 6.2.1 设$(X_1, X_2,...,X_n)$是来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的一个样本，则样本均值$\overline{X}$与样本方差$S^2$相互独立，

定义 6.2.3 设随机变量$X$的分布函数为$F(X)$,对于给定的正数$\alpha(0 \lt \alpha \lt 1)$,若有数$c$满足$P(X>c)=\alpha$,则称$c$为$X$

2. $t$分布

定义 6.2.2 $X \sim N(0，1)， Y\sim \chi^2(n)$的, 且$X,Y$相互独立，则统计量$$ T = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} $$服从

定理 6.2.2 设$(X_1, X_2,...,X_n)$是来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的一个样本，则样本统计量$$T = \frac{\overline{X}-\mu

2. $F$分布

定义 6.2.3 $X \sim \chi^2(m)， Y\sim \chi^2(n)$的, 且$X,Y$相互独立，则统计量$$ F = \frac{X/m}{Y/n} $$服从自由度为$n$的 $

显然若$T \sim t(n)$, 则$T^2 = \frac{X^2/1^2}{[\sqrt{\frac{Y}{n}]^2}} \sim F(1,n)$

$F$ 分布的性质

(1). 若$F \sim F(m,n)$，则 $\frac{1}{F} \sim F(n,m)$

(2). $F_\alpha(n,m) = \frac{1}{F_{1-\alpha}(m,n)}$ 证明暂时省略

定理6.2.4 设$(X_1, X_2,...,X_n)$是来自总体$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$的一个样本，$(Y_1, Y_2,...,Y_n)$是来自$Y\sim

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概率论
第四章随机变量的数字特征
第七章参数估计
- 7.1.1 点估计
- 7.1.2 点估计例题
第六章抽样及样本分布
- 6.2 抽样分布
第八章假设检验
- 单个正态分布的假设检验

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概率论

第六章抽样及样本分布

6.2 抽样分布

6.2 抽样分布

第六章抽样及样本分布

第八章假设检验

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