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6.2 抽样分布

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定义 6.2.1 设(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)时来自总体XX的一个样本，g(X1,X2,...,Xn)g(X_1,X_2,...,X_n)是样本的函数，若gg中不含任何参数，则称g(X1,X2,...,Xn)g(X_1,X_2,...,X_n)是样本的一个统计量。

6.2.2 正态总体的抽样分布
设(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)是来自总体X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)的一个样本，由于(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)相互独立且与总体分布相同，
所以Xi∼N(μ,σ2),(i=1,2,...n)X_i \sim N(\mu, \sigma^2), (i=1,2,...n)，故

E(X‾)=Σin1nE(Xi)=1nΣinE(Xi)=μE(\overline{X}) = \Sigma_{i}^{n} \frac{1}{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \Sigma_{i}^{n}E(X_i) =\mu

D(X‾)=Σin1nD(Xi)=1n2ΣinD(Xi)=σ2nD(\overline{X}) = \Sigma_{i}^{n}\frac{1}{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \Sigma_{i}^{n}D(X_i) = \frac{\sigma^2}{n}

由于线性分布的线性运算结果仍服从正态分布，由此得出

X‾∼N(μ,σ2n),Z=X‾−μσ/n\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}), Z= \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}

可以证明样本方差E(S2)=σ2E(S^2) = \sigma^2
6.2.3 几种常见的抽样分布
1. χ2\chi^2 分布
定义 6.2.2 设(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)是来自总体X∼N(0，1)X \sim N(0，1)的一个样本，则统计量

χ2=ΣinXi2\chi^2 = \Sigma_{i}^{n}X^2_i

服从自由度为nn的 χ2\chi^2 分布 记作

χ2∼χ2(n)\chi^2 \sim \chi^2(n)

。
χ2\chi^2 分布的性质
(1). χ12∼χ2(n1),χ22∼χ2(n2)\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1), \chi_2^2 \sim \chi^2(n_2), 且χ12,χ12\chi_1^2 , \chi_1^2相互独立，则 χ12+χ12=χ2(n1+n2)\chi_1^2 + \chi_1^2 = \chi^2(n_1 + n_2)
(2). E(χ2)=n,D(χ2)=2nE(\chi^2) = n, D(\chi^2) = 2n 证明暂时省略
一般的，若(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)为来自总体X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)的一个样本则统计量

χ2=Σi=1n(Xi−μσ)2=χ2(n)\chi^2 = \Sigma_{i=1}^{n}\big(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\big)^2 = \chi^2(n)

定理 6.2.1 设(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)是来自总体X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)的一个样本，则样本均值X‾\overline{X}与样本方差S2S^2相互独立，且统计量

(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)

。证明略
定义 6.2.3 设随机变量XX的分布函数为F(X)F(X),对于给定的正数α(0<α<1)\alpha(0 \lt \alpha \lt 1),若有数cc满足ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 4: P(X&̲gt;c)=\alpha,则称cc为XX的α\alpha分位点。
2. tt分布
定义 6.2.2 X∼N(0，1)，Y∼χ2(n)X \sim N(0，1)， Y\sim \chi^2(n)的, 且X,YX,Y相互独立，则统计量

T=XYn T = \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}

服从自由度为nn的 tt 分布 记作

T∼t(n)T \sim t(n)

。
定理 6.2.2 设(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)是来自总体X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)的一个样本，则样本统计量

T=X‾−μS/n∼t(n−1)T = \frac{\overline{X}-\mu}{S/ \sqrt{n} } \sim t(n-1)

。证明略
2. FF分布
定义 6.2.3 X∼χ2(m)，Y∼χ2(n)X \sim \chi^2(m)， Y\sim \chi^2(n)的, 且X,YX,Y相互独立，则统计量

F=X/mY/n F = \frac{X/m}{Y/n}

服从自由度为nn的 FF 分布 记作

F∼F(m,n)F \sim F(m,n)

。
显然若T∼t(n)T \sim t(n), 则T2=X2/12[Yn]2∼F(1,n)T^2 = \frac{X^2/1^2}{[\sqrt{\frac{Y}{n}]^2}} \sim F(1,n)
FF 分布的性质
(1). 若F∼F(m,n)F \sim F(m,n)，则 1F∼F(n,m)\frac{1}{F} \sim F(n,m)
(2). Fα(n,m)=1F1−α(m,n)F_\alpha(n,m) = \frac{1}{F_{1-\alpha}(m,n)} 证明暂时省略
定理6.2.4 设(X1,X2,...,Xn)(X_1, X_2,...,X_n)是来自总体X∼N(μ1,σ12)X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)的一个样本，(Y1,Y2,...,Yn)(Y_1, Y_2,...,Y_n)是来自Y∼N(μ2,σ22)Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)的一个样本,且X,YX,Y相互独立S12,S22S_1^2, S_2^2分别是它们的方差，则样本统计量

F=S12/σ12S22/σ22∼F(m−1,n−1)F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2 } \sim F(m-1, n-1)

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