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Revision #1

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设X是一个随机变量，$g(x)$是一个实函数，则$Y=g(x)$也是一个随机变量，理论上虽然也可以通过X的分布求出Y的分布，然后通过定义求出给$g(x)$的数学期望$E[g(x)]$,不不过比较复杂，

定理4.1.1 设X是一个随机变量，$Y=g(x)$,且$E(Y)$存在则

(1). 若$X$是离散型随机变量，其概率分布为**

$$P{X=x_i} = p_i, i=1,2,3,....$$

则Y的数学期望为$$E(Y)=E[g(x)]=\Sigma_{i}^{+\infty}g(x_i)p_i$$

(2.)若$X$是连续型随机变量，其概率密度函数为$f(x)$，若$\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$ 绝对收敛，则Y的数学期望为

$$E(Y)=E[g(x)] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$$

例 4.1.6 设随机变量X的概率分布为如下

求$E(2X+3)$, $E(X^2-1)$。

解： $E(2X+3) = 2 \times (-2) \times0.3 + 2\times 0 \times 0.1 = -1.2 $

$E(X^2-1)=4\times0.3 + 0^2 \times 0.1 = 1.2$

注：（1）定理4.1.1的重要性在于：求$E[g(X)]$时，不必知道$g(X)$的分布，只需要知道$X$的分布即可。这给求随机变量函数的期望带来极大的方便。

（2）定理4.1.1 可以推广到二维以上的情形中.

4.1.3 数学期望的性质

（1）设C是常数，则$E(C) = C$

证明：式中的常熟c可以看作时特殊的随机变量,$X \equiv C$，其概率分布为

$$P{X=c} = 1 $$ 从而$$E(c) = cP{X=c} = c $$

(2) 若$C$时常数，则$E(CX) = CE(X)$

证明：若X是离散型随机变量，其概率分布为$$P{X=x_i}=p_i, i=1,2,3,......$$

则$$E(CX) = \Sigma_{i}^{+\infty}(Cx_i)p_i = C\Sigma_{i}^{+\infty}x_ip_i = CE(x)$$

若X是连续型随机变量,其密度函数为$f(x)$, 则$$E(CX) = \int_{-\infty}^{+\infty}Cxf(x)dx= C\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)

(3)两个随机变量和数学期望等于这两个随机变量数学期望的和，即$$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$$

(4) 推论有限个随机变量的和数学期望等于他们数学期望的和，即$$E(\Sigma_{i}^{n}X_i) = \Sigma_{i}^{n}E(X_i)$$

(5) 两个独立变量的乘积的数学期望等于两个独立变量的数学期望的乘积，即$$E(XY) = E(X)E(Y)$$

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概率论
第四章随机变量的数字特征
第七章参数估计
- 7.1.1 点估计
- 7.1.2 点估计例题
第六章抽样及样本分布
- 6.2 抽样分布
第八章假设检验
- 单个正态分布的假设检验

Books

概率论

第四章随机变量的数字特征

4.1.2 随机变量函数的数学期望

4.1.2 随机变量函数的数学期望

4.1 随机变量的数学期望

4.2 随机变量的方差

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