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Revision #19

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对于多维变量，随机变量的数学期望与方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没有反应多个随机变量之间的关系，本节讨论的协方差是反应随机变量关系的一个数字特征。

协方差的定义设$(X,Y)$是二维随机变量若 $$E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} $$存在，则称其为随机变量$(X,Y)$的协方差，记作$cov(X,Y)$。

若$(X,Y)$是离散型随机变量，其概率分布为$$P{X=X_i, Y=y_i}=p_{ij}, i,j=1,2,3...,$$

则 $$cov(X,Y) = \Sigma_{i,j}[x_i-E(X)](y_i-E(Y)]p_{i,j}$$

若$(X,Y)$是连续型随机变量，其概率密度函数为$f(x,y)$且绝对收敛

则其分布为$$cov(X,Y) =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)](y-E(Y)]f(x,y)dxy $$

若$X与Y 独立$ 则 $cov(X,Y) = 0$。

4.3.2 协方差的性质

1. $cov(X,X) = D(X);$

2. $cov(X,Y) = cov(Y,X);$

3. $cov(aX,bY) = abcov(X,Y)$, 其中ab为任意常数

4. $cov(C,Y) = 0$,C为任意常数

5. $cov(X_1+X_2, Y) = cov(X_1,Y) + cov(X_2,Y)$

随机变量的协方差与方差的关系 $$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2cov(X,Y) $$

例4.3.2 设随机变量$(X,Y)$的密度函数为

求$cov(X,Y), D(X+Y)$

解：$cov(X,Y) = E(XY)- E(X)E(Y)$

$f_X(x) = \int_{x}^{1}f_X(x,y)dy = 8x\int_{x}^{1}ydy = 4xy^2\big|^1_x = 4x(-x^2+1) $

$f_Y(y) = \int_{y}^{0}f_Y(x,y)dx = 8y\int_{0}^{y}xdx = 4yx^2\big|^y_0 = 4y^3$

$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx = 8/15$

$E(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(x)dx = 4/5$

$E(XY) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy$

$= \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1}(xy \times 8xy)dy = 4/9 $

先沿 x 方向积分，再沿 y 方向积分：

先沿 y 方向积分，再沿 x 方向积分：

$cov(X,Y) = E(XY) - E(X)(Y) = \frac{4}{9} - \frac{8}{15} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{225}$

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_X(x)dx = 1/3$

$E(Y^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}y^2f_Y(x)dy = 2/3$

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y)$

$ = E(X^2) - [E(X)]^2 + E(Y^2) - [E(Y)]^2 + \frac{4}{225} = 1/9$

4.3.3 相关系数的定义设$(X,Y)$是二维随机变量，$ D(X) \gt 0, D(Y) \gt 0 $, 称 $$ \rho = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)

4.3.4 相关系数的性质

1. $|\rho| \leq 1;$

2. 若X与Y相互独立，则$\rho=0;$

3. 若$D(X) >0, D(Y) > 0$，

则 $|\rho| =1$当且仅当存在常数$a,b(a 不等于 0)$，使$P{Y=aX+b}=1$,

而且当 a>0 时 $\rho=1$,a<0时 $\rho = -1$.

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概率论
第四章随机变量的数字特征
第七章参数估计
- 7.1.1 点估计
- 7.1.2 点估计例题
第六章抽样及样本分布
- 6.2 抽样分布
第八章假设检验
- 单个正态分布的假设检验

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概率论

第四章随机变量的数字特征

4.1.3 协方差与相关系数

4.1.3 协方差与相关系数

4.2 随机变量的方差

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