# 7.1.1 点估计

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## 一、什么是参数估计？

  

参数估计是统计推断的一种，根据总体随机抽取的样本推断总体分布未知参数的过程。


### 估计形式：

#### 点估计：是指总体X的分布函数已知，但它的一个或多个参数未知，需要借助总体的一个样本估计总体的未知参数。


#### 矩法：
**基本思想是`用样本中心距替换总体矩，从而求出未知参数的估计量`。因为根据大数定律，若已知总体K阶矩uk存在，则样本k阶矩Ak依概率收敛于总体k阶矩即 $$ A_k \overset{P}{\longrightarrow}u_k $$, 且样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函数。**

  
  

###### 计算步骤：


**设随机变量X是连续型随机变量，其概率密度为$$f(x;a_1,a_2,...a_k)$$或X为离散型随机变量，其分布律为$$P\{X=x\}=P(x;a_1,a_2,.....a_k)$$**

**其中 $$a_1,a_2,.....a_k $$是待估参数，$$ X_1，X_2，...，X_n $$，是来自总体的样本，假设总体分布的$ l (1\leq l \leq k) $阶矩uk存在，则总体分布X的L阶矩**


**<center> $$ u_l = E(x^l) = \int_{a}^{b}x^lf(x;\theta_1,\theta_2,......, \theta_n) dx $$ </center>**
 

**或**
**<center>$$ u_l= E(X^l) = \frac{1}{n}  \Sigma_{x\in R(x)} x^lp(x;\theta_1, \theta_2,... \theta_k) $$</center>**

**他是 $$ \theta = (\theta_1, \theta_2,... \theta_k) $$ 的函数,R(x) 是x可能的取值范围，对样本$$ X=(X_1, X_2,...X_n) $$的$l$阶矩为**

**<center> $$ A_l= \sum_{i=1}^{n}  (X_i)^l  $$ </center>**

**现用样本距作为总体矩的估计即令**
<center>

 $$ 
\begin{cases} 
  \mu_1(\theta_1, \theta_2,... \theta_k)=A_1, \\\\
  \mu_2(\theta_1, \theta_2,... \theta_k)=A_2 \\\\
  ...... \\\\
  \mu_l(\theta_1, \theta_2,... \theta_k)=A_l \\\\
  \mu_k(\theta_1, \theta_2,... \theta_k)=A_k
\end{cases}
 $$
 
</center>


##### 求出方程组的解$\hat{\theta_1}$, $\hat{\theta_2},$求出方程组的解$\hat{\theta_1}$, $\hat{\theta_2}$, ...... ,$\hat{\theta_k}$, 我们称$\theta_l=(X_1, X_2, ......, X_n)$为参数$\theta_l$的矩估计量,估计量的观察值$\hat{\theta_l}=\hat{\theta_l}(x_1, x_2, ......, x_n)$ 为参数估计量的估计值,这种求估计量的方法我们叫矩估计法。**