4.2 随机变量的方差

随机变量的数学期望描述了随机变量取值的平均情况，但这是不能满足实际需要的，还要研究随机变量与均值的离散程度，例如一批产品的长度有的长，有的短，即使能达到平均程度，也不能认为这批产品合格。 
 由此可见研究随机变量与其均值的离散程度是很有必要的。该怎么研究呢，容易看到$$E{|X-E(x)|}$$ 
 由于上式带有绝对值不好研究，所以将上式改成 $$E{[X-E(X)]^2}$$来度量随机变量与其均值的离散程度。 
 定义4.2.1 设X是随机变量，如果$E[X-E(x)]^2$存在，则称它为X的方差，即 $$D(X)=E[X-E(X)]^2$$ 
 注： 
 (1). 方差实际是随机变量$X$的函数$g(x)=[x-E(X)]^2$函数; 
 (2). 按定义，若$X$是离散型随机变量其分布为$P{X=x_i}=p_i, i=1,2,3,.....$，则$$D(X) = \Sigma_{i=1}^{+\infty}[X_i-E(X)]^2p_i $$ 
 (3). 若$X$是连续型随机变量，其密度函数为$f(x)$,则其分布为$$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx$$ 
 4.2.2 方差的计算 
 定理 4.2.1 任意随机变量$X$的方差等于 这个随机变量平方的期望减去这个随机变量期望的平方 。 
 证明： 
 $$
\begin{aligned}
D(X) =E[X-E(X)]^2 \\
=E(X^2 - 2XE(X) + [E(X)]^2) \\
=E(X^2) - 2E(XE(x)) + [E(E(X))]^2 \\
=E(X^2) - 2E(X)E(X) + [E(X)]^2 \\
=E(X^2) - [E(X)]^2
\end{aligned}
$$ 
 4.2.3 方差的性质 
 (1). 设常数C,则 $D(C)=0$ 
 证：$D(C)=E[C-E[C]]^2 = 0 因为 E(C) = C$ 
 (2) 设常数 $C$，$X$ 是随机变量,则 $D(CX) = C^2D(X)$ 
 证： 
 $$
\begin{align}
D(X) =E[CX-E(CX)]^2 \\
=E(C^2X^2 - 2CXE(CX) + [E(CX)]^2) \\
=E(C^2X^2) - 2E(CXE(CX)) + [E(E(CX))]^2 \\
=E(C^2X^2) - 2E(X)E(CX)E(C) + [E(CX)]^2 \\
=C^2E(X^2) -2C^2[E(X)]^2 + [CE(X)]^2 \\
=C^2[E(X^2) - [E(X)]^2]
=C^2D(X)
\end{align}
$$ 
 (3). 设$X，Y$是两个随机变量，则 
 $$D(X \pm Y) = D(X)+D(Y) \pm 2E{X-E(X)}E{Y-E(Y)}$$ 
 特别的若$X与Y相互独立则 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ 
 证： 
 $$
\begin{align}
D(X+Y) =E[X+Y - E(X+Y)]^2 \\
=E[(X+Y)^2 - 2(X+Y)E(X+Y) + [E(X+Y)]^2 \\
=D(X)+D(Y) + 2E{X-E(X)}E{Y-E(Y)}
\end{align}
$$ 
 4.2.4 几个常见的随机变量的方差 
 例 4.2.1 设随机变量$X$具有0-1分布，其分布率为$P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p$， 求$E(X), D(X)$。 
 
 解：$E(X) = \Sigma_{0}^{1} x_ip_i = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p $ 
 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p - p^2 = p - p^2$ 
 例 4.2.2 若$X \sim b(n,p)(二项分布)， 求E(X), D(X)$ 
 
 解 因为 $X \sim b(n,p)$ 所以X表示n重泊努力实验的成功次数$P{X=k}=C^k_pp^k(1-p)^{n-k}$。 
 $$
X = \begin{cases}
0 \text{ } , 第i次失败 \\
1 \text{ } ，第i次成功
\end{cases}
i = 1,2,3,... \\
$$ 
 $$
\begin{aligned}
则X=X_1+X_2+....+X_n \\
P{X=0} = 1-p0 \\
P{X=1} = p \\
E(X_i) = 0 \times (1-p) + p= p \\
E(X) = \Sigma_{i=1}^{n}E(Xi) = np \\
D(X) = np(1-p)
\end{aligned}
$$ 
 例4.2.5 $X \sim P(\lambda)$，求E(X),D(X)。 
 
 解：泊松分布$P{X=k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}， k=0,1,2,3,.....$ 
 $E(X) =\Sigma_{k=0}^{+\infty}k\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ 
 $ = \lambda e^{-\lambda} \Sigma_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda $ 
 $E(X^2) = E[X(X-1)+X] = E[X(X-1)] + E(X) = \lambda^2 + \lambda $ 
 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \lambda $ 
 
 例4.2.6 设$X \sim U(a,b) $，求 $E(X),D(X)$。均匀分布 
 $X$ 的概率密度为 
 $$
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a}， \text{ } a \leq x \leq b \\
0， 其它
\end{cases}
$$ 
 $E(X) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}xdx = \frac{a+b}{2}$ 
 $D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}x^2dx = \frac{(b-a)^2}{12}$ 
 
 例4.2.7 设 $X \sim E(\lambda),试求 E(X),D(X)$。指数分布 
 解：指数分布的概率密度为 
 $$
f(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}， \text{ } x \gt 0 \\
0， 其它
\end{cases}
$$ 
 $E(X)= \int_{0}^{+\infty}x \lambda e^{ -\lambda x}dx = \frac{1}{\lambda}$ 
 
 $E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ 
 
 $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ 
 
 
 例4.2.8 设 $X \sim N(\mu, \sigma^2),试求 E(X),D(X)$。高斯分布 
 高斯分布： $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ 
 $E(X) = \mu, E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$ 
 $D(X) = \sigma^2$ 
 定理 4.2.2 设随机变量$X$具有数学期望$E(X)=\mu ,方差D(X)= \sigma^2 $,则对于任意正数$\epsilon$, 不等式 
 $$P{|X- \mu | \geq \epsilon } \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} $$ 或 
 $$P{|X- \mu | \lt \epsilon } \geq 1- \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} $$ 切比雪夫不等式