# 4.2 随机变量的方差

##### 随机变量的数学期望描述了随机变量取值的平均情况，但这是不能满足实际需要的，还要研究随机变量与均值的离散程度，例如一批产品的长度有的长，有的短，即使能达到平均程度，也不能认为这批产品合格。
#####  由此可见研究随机变量与其均值的离散程度是很有必要的。该怎么研究呢，容易看到$$E\{|X-E(x)|\}$$
##### 由于上式带有绝对值不好研究，所以将上式改成 $$E\{[X-E(X)]^2\}$$来度量随机变量与其均值的离散程度。
#### 定义4.2.1 设X是随机变量，如果$E[X-E(x)]^2$存在，则称它为X的方差，即 $$D(X)=E[X-E(X)]^2$$
##### 注：
##### (1). 方差实际是随机变量$X$的函数$g(x)=[x-E(X)]^2$函数;
##### (2). 按定义，若$X$是离散型随机变量其分布为$P\{X=x_i\}=p_i, i=1,2,3,.....$，则$$D(X) = \Sigma_{i=1}^{+\infty}[X_i-E(X)]^2p_i $$
##### (3). 若$X$是连续型随机变量，其密度函数为$f(x)$,则其分布为$$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx$$

#### 4.2.2 方差的计算
##### 定理 4.2.1 任意随机变量$X$的方差等于**这个随机变量平方的期望减去这个随机变量期望的平方**。
##### 证明：
$$
\begin{aligned}
D(X) =E[X-E(X)]^2 \\\\
=E(X^2 - 2XE(X) + [E(X)]^2) \\\\
=E(X^2) - 2E(XE(x)) + [E(E(X))]^2 \\\\
=E(X^2) - 2E(X)E(X) + [E(X)]^2 \\\\
=E(X^2) - [E(X)]^2
\end{aligned}
$$

#### 4.2.3 方差的性质
##### (1). 设常数C,则 $D(C)=0$
##### 证：$D(C)=E[C-E[C]]^2 = 0 因为 E(C) = C$
##### (2) 设常数 $C$，$X$ 是随机变量,则 $D(CX) = C^2D(X)$
##### 证：
$$
\begin{align}
D(X) =E[CX-E(CX)]^2 \\\\
=E(C^2X^2 - 2CXE(CX) + [E(CX)]^2) \\\\
=E(C^2X^2) - 2E(CXE(CX)) + [E(E(CX))]^2 \\\\
=E(C^2X^2) - 2E(X)E(CX)E(C) + [E(CX)]^2 \\\\
=C^2E(X^2) -2C^2[E(X)]^2 +  [CE(X)]^2 \\\\
=C^2[E(X^2) - [E(X)]^2]
=C^2D(X)
\end{align}
$$
##### (3). 设$X，Y$是两个随机变量，则
##### $$D(X \pm Y) = D(X)+D(Y) \pm 2E\{X-E(X)\}E\{Y-E(Y)\}$$
##### 特别的若$X与Y相互独立则 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$
##### 证：
$$
\begin{align}
D(X+Y) =E[X+Y - E(X+Y)]^2 \\\\
=E[(X+Y)^2 - 2(X+Y)E(X+Y) + [E(X+Y)]^2 \\\\
=D(X)+D(Y) + 2E\{X-E(X)\}E\{Y-E(Y)\}
\end{align}
$$

#### 4.2.4 几个常见的随机变量的方差
##### **例 4.2.1** 设随机变量$X$具有0-1分布，其分布率为$P\{X=0\} = 1-p, P\{X=1\} = p$， 求$E(X), D(X)$。
---
##### 解：$E(X) = \Sigma_{0}^{1} x_ip_i = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p $
##### $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p - p^2 = p - p^2$
##### **例 4.2.2** 若$X \sim b(n,p)(二项分布)， 求E(X), D(X)$
---
##### 解 因为 $X \sim b(n,p)$ 所以X表示n重泊努力实验的成功次数$P\{X=k\}=C^k_pp^k(1-p)^{n-k}$。
$$
X = \begin{cases}
0 \text{ } , 第i次失败 \\\\
1 \text{ } ，第i次成功
\end{cases}
i = 1,2,3,... \\\\
$$
--- 
$$
\begin{aligned}
则X=X_1+X_2+....+X_n \\\\
P\{X=0\} = 1-p0 \\\\
P\{X=1\} = p \\\\
E(X_i) = 0 \times (1-p) + p= p \\\\
E(X) = \Sigma_{i=1}^{n}E(Xi) = np \\\\
D(X) = np(1-p)
\end{aligned}
$$
#### **例4.2.5**  $X \sim P(\lambda)$，求E(X),D(X)。
---
#### 解：泊松分布$P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}， k=0,1,2,3,.....$
#### $E(X) =\Sigma_{k=0}^{+\infty}k\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $
#### $ = \lambda e^{-\lambda} \Sigma_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda}  e^{\lambda} = \lambda $ 
#### $E(X^2) = E[X(X-1)+X] = E[X(X-1)] + E(X) = \lambda^2 + \lambda $
#### $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \lambda $
---
#### **例4.2.6** 设$X \sim U(a,b) $，求 $E(X),D(X)$。均匀分布
#### $X$ 的概率密度为
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a}， \text{ } a \leq x \leq b \\\\
0， 其它
\end{cases}
$$
#### $E(X) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}xdx = \frac{a+b}{2}$
#### $D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}x^2dx = \frac{(b-a)^2}{12}$
---
##### **例4.2.7** 设 $X \sim E(\lambda),试求 E(X),D(X)$。指数分布
##### 解：指数分布的概率密度为
$$
f(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}， \text{ } x \gt 0 \\\\
0， 其它
\end{cases}
$$
#### $E(X)= \int_{0}^{+\infty}x \lambda e^{ -\lambda x}dx = \frac{1}{\lambda}$
<br/>

#### $E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$
<br/>

#### $D(X) =  \frac{1}{\lambda^2}$
<br/>

---
##### **例4.2.8** 设 $X \sim N(\mu, \sigma^2),试求 E(X),D(X)$。高斯分布
#### 高斯分布： $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
#### $E(X) = \mu, E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$
#### $D(X) = \sigma^2$

#### 定理 4.2.2 设随机变量$X$具有数学期望$E(X)=\mu ,方差D(X)= \sigma^2 $,则对于任意正数$\epsilon$, 不等式
#### $$P\{|X- \mu | \geq \epsilon \} \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} $$ 或
#### $$P\{|X- \mu | \lt \epsilon \} \geq 1- \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} $$ 切比雪夫不等式